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'''リー環'''（りーかん、Lie ring）はリー括弧積（リー・ブラケット）と呼ばれる非結合的な積をもつ[[代数的構造]]で、和と括弧積に関して積の結合性を除く[[環論|（単位的）環]]の公理を全て満たす（非結合的分配環）。また応用上重要なリー環は単に環であるというだけでなく[[多元環|分配多元環]]の構造を持ち、'''リー多元環'''あるいは'''リー代数'''（りーだいすう、Lie algebra) と呼ばれる。リー多元環を簡単にリー環と呼ぶことも多い。体上のリー多元環は括弧積をもつ[[ベクトル空間]]であると述べることもできる。

有限次元リー環は指数写像と呼ばれる一対一対応により、ある有限次元[[リー群]]の原点（零元）における接空間として実現される。

== 定義 ==
リー（多元）環は次の条件により定義される[[体 (数学)|体]]あるいは単位的可換環 ''K'' 上の[[代数的構造]] ''A'' のことである： ''A'' には 3 つの演算 '''和''' +, '''括弧積''' [·, ·], ''F'' の元の'''スカラー積''' · が定義されて以下を満たす。
# 和について[[アーベル群]]を成す：
#* 和の[[交換法則]]： ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x'' が、任意の ''x'', ''y'' ∈ ''A'' に対して成り立つ。
#* 和の[[結合法則]]： ''x'' + (''y'' + ''z'') = (''x'' + ''y'') + ''z'' が、任意の ''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''A'' に対して成り立つ。
#* [[零元]]の存在： ''x'' + 0 = ''x'' が任意の ''x'' ∈ ''A'' に対して成り立つような 0 が ''A'' に存在する。
#* [[逆元]]の存在：任意の ''x'' ∈ ''A'' に対し、''x'' + (-''x'') = 0 を満たすような ''A'' の元 -''x'' が存在する。
# [[分配法則]]：任意の ''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''A'' に対して
#* [''x'' + ''y'', ''z''] = [''x'', ''z''] + [''y'', ''z''],
#* [''x'', ''y'' + ''z''] = [''x'', ''y''] + [''x'', ''z''].
# 和とスカラー積に関して以下を満たす：任意の α, β ∈ ''K'', ''x'', ''y'' ∈ ''A'' および ''F'' の単位元 1''F'' に対して
#* 右分配法則： α(''x'' + ''y'') = α''x'' + α''y'',
#* 左分配法則: (α + β)''x'' = α''x'' + β''x'',
#* スカラー積の結合性： (αβ)''x'' = α(β''x''),
#* 恒等作用： 1''K'' ''x''.
# α[''a'', ''b''] = [α''a'', ''b''] = [''a'', α''b''] が任意の α ∈ ''K'' と ''a'', ''b'' ∈ ''A'' に対して成り立つ。
# 括弧積の'''交代性'''： [''x'', ''x''] = 0 が任意の ''x'' ∈ ''A'' に対して成り立つ。
# '''ヤコビの等式'''： [[''x'', ''y''], ''z''] + [[''y'', ''z''], ''x''] + [[''z'', ''x''], ''y''] = 0 が、任意の ''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''A'' に対して成り立つ。

狭い意味でのリー環はスカラー乗法に関わる 3, 4 の条件以外を満たすものである。条件 1, 2 はリー環が ''K'' 上の[[環論|分配的環]]となることを意味し、ヤコビの等式はそれが[[結合法則|非結合的]]であることを示している。条件 1, 3 はリー環が[[ベクトル空間]]あるいは環上の加群の構造を持つことを意味し、さらに 2, 4 を加えて（単位元を持つ）[[多元環|分配多元環]]であることを知る。すなわちリー環とは、交代的かつ必ずしも結合的でない積を持つ分配的多元環で、ヤコビの等式を満たすものである。

条件 2 と 4 をあわせて、括弧積は'''双線型性'''を持つという。また、条件 5 の交代性は[[標数]]が 2 でない体上でのリー環であれば以下の条件
:<math>[y,x] = - [x,y]</math>
あるいは
:<math>[x,y] + [y,x] = 0</math>
と同値である。この条件も交代性と呼ばれるほか、反対称性あるいは歪対称性 (skew-symmetricity) とも称される。この条件は標数 2 であるときも含めて条件 5 から導かれる。

== 諸概念 ==
結合的な積を持つ多元環 ''U'' で新たに括弧積を
:<math>[X,Y] := XY - YX</math>
によって定めるとリー環を得る。これを ''U'' に付随するリー環と呼び、対してもとの結合多元環を'''包絡環'''と呼ぶ。リー環 ''A'' がはじめに与えられたとき、その包絡環は[[テンソル代数]]を用いて[[普遍性|普遍的]]に構成される。リー環 ''A'' の加群構造に注目して、''A'' 上のテンソル代数 ''T''(''A'') を構成し、これを
:<math>[X,Y] - X\otimes Y + Y \otimes X \quad(X,Y \in A)</math>
なる形の元全体で生成されるイデアルで割った剰余多元環を ''U''(''A'') と定めると、''A'' は多元環 ''U''(''A'') に加群構造を含めて埋め込めて、''U''(''A'') は積について
:<math>[X,Y] = X\otimes Y - Y \otimes X</math>
なる関係を満たす結合的多元環となる。これをリー環 ''A'' の'''普遍包絡環'''（ふへんほうらくかん、universal enveloping algebra）と呼ぶ。

リー環 ''A'' の二元 ''x'', ''y'' が [''x'', ''y''] = 0 を満たすとき、''x'' と ''y'' は'''可換'''であるという。任意の二元が可換であるようなリー環を'''可換リー環'''あるいは自明なリー環という。どんなベクトル空間 ''V'' に対しても、どの二元 ''v'', ''w'' の積も [''v'', ''w''] = 0 となるものとして積を入れると可換リー環を得る。

リー環 ''A'', ''B'' に対して、単位元持つ分配多元環としての準同型 ''f'': ''A'' → ''B'' をリー環の[[準同型]]と呼ぶ。すなわち、写像 ''f'': ''A'' → ''B'' が'''リー環準同型'''であるとは、''A'' の任意の元 ''x'', ''y'' および、''A'', ''B'' それぞれの単位元 1''A'', 1''B'' に対して
# <math>f(x + y) = f(x) + f(y),</math>
# <math>f(\alpha x) = \alpha f(x),</math>
# <math>f([x,y]) = [f(x),f(y)],</math>
# <math>f(1_A) = 1_B</math>
が満たされることをいう。

リー環 ''A'' の部分集合 ''B'' で包含写像 ''B'' → ''A'' がリー環の準同型となるとき、''B'' は ''A'' の'''部分リー環'''（ぶぶんリーかん、Lie subalgebra）であるという。

==リー環の表現==

===随伴表現===

===ポアンカレ・バーコフ・ヴィットの定理===

===アド・岩沢の定理===
体上の有限次元リー環は忠実な有限次元表現を持つ。

==可解リー環・冪零リー環==
<math>\mathfrak{g}</math>に対し、<math>[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]</math>は<math>\mathfrak{g}</math>のイデアルになる。
:<math>D^1\mathfrak{g}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],D^i\mathfrak{g}=[D^{i-1}\mathfrak{g},D^{i-1}\mathfrak{g}]</math>
と定義するとき、ある''r''が存在して<math>D^r\mathfrak{g}=0</math>となるとき、<math>\mathfrak{g}</math>を'''可解リー環'''という。

:<math>\mathfrak{g}^{(0)}=\mathfrak{g},\mathfrak{g}^{(k)}=[\mathfrak{g},\mathfrak{g}^{(k-1)}]</math>
と定義するとき、ある''r''が存在して<math>\mathfrak{g}^{(r)}=0</math>となるとき、<math>\mathfrak{g}</math>を'''べき零リー環'''という。
==半単純リー環==
===ジョルダン分解===
===半単純リー環の表現論===

==カルタン部分環==

==レヴィ部分環==

==リー環のルート系・ディンキン図形==

==関連==
* [[ソフス・リー]]
* [[多元環]]
* [[リー群]]
* [[多様体]]
* [[接空間]]
* [[表現論]]

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[[Category:リー環論|りーかん]]
[[Category:代数的構造|りーかん]]
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