小内山晶: /* 圏論的直和 */

2010-08-19T17:16:53Z

‎圏論的直和

2007年5月16日 (水) 18:31にキリカによる

2007-05-16T18:31:02Z

キリカ: http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=直和&oldid=9371995

2007-05-16T18:30:35Z

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'''直和'''（ちょくわ、direct sum, disjoint union）とは複数の[[集合]]、また（特に[[代数的構造]]の入った）集合をぴったり貼り合わせてできる新たな集合のことをいう。

直和を表すのに用いられる記号には
:<math> \oplus, \coprod </math>
などがある。後者の記号は直積のそれによく似ているが、後述するように直和と直積には深い関連があり、特にある種の[[代数的構造]]を持つ集合の直和と直積は有限個のものの間では同じになる。

==集合の直和==
'''集合の直和'''（disjoint union, 非交和）とは、互いに交わらない、つまり[[共通部分]]が[[空集合]]であるような二つの集合の[[和集合]]を表す。二つ以上の集合の直和も同様に定義できる。

たとえば、ある位相空間の部分集合の、内部と[[境界]]と外部の和は直和になっている。

形式的に、（必ずしも共通部分が空ではない）二つの集合 ''A'', ''B'' の直和は次のように与えられる：''A'' や ''B'' に属さない記号、たとえば * を付加した集合 ''A''* = ''A'' × {*}, ''B''* = {*} × ''B'' を考えてやると、二つの[[単射|埋め込み]]
:<math>A \hookrightarrow A^*;\, a \mapsto (a,*),</math>
:<math>B \hookrightarrow B^*;\, b \mapsto (*,b)</math>
が得られて、''A''*, ''B''* には共通部分がなくなる。このときの和集合 ''A''* ∪ ''B''* のことを ''A'' と ''B'' の直和という（上の埋め込みは[[全単射]]であり、誤解のおそれのない場合には ''A''* と ''A'', ''B''* と ''B'' はそれぞれ同一視して区別しない）。今の場合、構成した直和は直積 ''A''* × ''B''* の部分集合である。

==ベクトル空間の直和==
'''[[ベクトル空間]]の直和'''（direct sum, 制限直積）は、（環上の）'''加群の直和'''の特別の場合である。二つのベクトル空間の直和とは次のように与えられる：''V''1, ''V''2 を同じ[[体 (数学)|体]]上の二つのベクトル空間で ''V''1∩''V''2 = {0} を満たすとしたとき、''V''1 のベクトルと ''V''2 のベクトルの和で作られる新たなベクトル空間 ''V'' = ''V''1 + ''V''2 のことをいう。直和であることを明示するために ''V''1 &oplus; ''V''2 とあらわす。

構成的には、''V''1 と ''V''2
の集合としての[[直積]]に対して、和を成分ごとの和であたえ、スカラー倍はそれぞれの成分をともにスカラー倍することだとしてできるベクトル空間のことで、これも同じ記号 ''V''1 &oplus; ''V''2 であらわす。

''V'' = ''V''1 &oplus; ''V''2 のベクトルは ''V''1 と ''V''2 のベクトルの和として一意的に表すことができ、''V'' の次元はそれぞれの次元の和に等しい。

有限個のベクトル空間の直和は、二つの直和を帰納的に適用すれば定義できる。必ずしも有限個でない場合の直和は、次の加群の直和の定義に従う。

==加群の直和==
任意個の[[加群]] {''M''''i''}''i''∈''I'' に対して、それらの直積
:<math>\prod_{i \in I} M_i </math>
に含まれる元のうち（これが空でないことは[[選択公理]]を要さない）、''その成分が有限個のものを除いてすべて単位元であるようなもの'' の集合を考える（制限直積）。元の間に演算を (''x''''i'')''i''∈''I'' + (''y''''i'')''i''∈''I'' = (''x''''i'' + ''y''''i'')''i''∈''I'', 環の作用を ''a''(''x''''i'')''i''∈''I'' = (''ax''''i'')''i''∈''I''（''a'' は環の元）で与えると、この集合は加群になる。これを加群 {''M''''i''}''i''∈''I'' の直和と呼ぶ。なお、この定義から作用を無視すれば自然に[[アーベル群]]の直和が得られる。

ある加群の任意の元が部分加群 {''M''''i''} の元の有限の和として一意的に書き表せるとき、この加群は {''M''''i''} の直和と同型になる。直和はこのようにして構造的に定義することもできる。これに対して既に述べたような定義を構成的ということもある。

ベクトル空間と同じように、直和加群の長さはそれぞれの加群の長さ（またはアーベル群のランク）の和になる。

==圏論的直和==

[[圏論]]における'''直和'''（coproduct, 双対直積）とは、[[直積]] (product) の[[双対]]概念で、次の[[普遍性]]を持つ対象 ''A'' のことである：

対象の族 {''A''λ}λ∈Λ を考える。対象 ''A'' と射 ''i''λ: ''A''λ → ''A'' が存在して、任意の対象 ''X'' と写像 ''f''λ: ''A''λ → ''X'' に対し、
:<math>f_\lambda = f \circ i_\lambda</math>
を満たす ''f'': ''A'' → ''X'' がただ一つ存在する。

集合の圏では、この圏論的定義でいう直積・直和と、上で述べた「集合の直積・直和」の概念は一致する。ところが、一般にはそうはならない。

たとえば、単位元を持つ[[可換法則|可換]][[環論|環]]の圏における直和とは「環の[[テンソル積]]」であって、上で述べた「環の直和」は圏論的には直積である。また、群の圏における直和は「群の[[自由積]]」と呼ばれるものである。

あるいは、アーベル群の圏においては、直和は「制限直積」であり直積は「直積」であるから、この場合は、有限個の対象に対する直積と直和は同じ対象を定める。これは環上の加群の圏においても同様である。

（スタブ。）

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 あるいは、アーベル群の圏においては、直和は「制限直積」であり直積は「直積」であるから、この場合は、有限個の対象に対する直積と直和は同じ対象を定める。これは環上の加群の圏においても同様である。
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