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2008-07-18T02:48:54Z

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'''qザールシュッツの和公式'''(q-Saalschütz summation formula)は[[ザールシュッツの定理]]の[[qアナログ]]であり、[[q超幾何級数]]<math>{_3\phi_2}</math>の和を与える公式である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-SaalschuetzSum.html Wolfram Mathworld: q-Saalschütz Sum]</ref>。
:<math>{_3\phi_2}\left[\begin{matrix}a,b,q^{-n}\\c,\frac{ab}{c}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right]=\frac{(\frac{c}{a};q)_n(\frac{c}{b};q)_n}{(\frac{c}{ab};q)_n(c;q)_n}</math>
但し、<math>(a;q)_n</math>は[[qポッホハマー記号]]である。

== 証明 ==
qザールシュッツの和公式は[[ハイネの変換式]]から導かれる。ハイネの変換式を反復すると
:<math>\begin{align}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]
&=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}
{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}z,\frac{c}{b}\\az\end{matrix};q,b\right]\\
&=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}\cdot
\frac{(\frac{b}{c};q)_\infty(bz;q)_\infty}{(az;q)_\infty(b;q)_\infty}
{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}b,\frac{abz}{c}\\bz\end{matrix};q,\frac{c}{b}\right]\\
&=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}\cdot
\frac{(\frac{b}{c};q)_\infty(bz;q)_\infty}{(az;q)_\infty(b;q)_\infty}\cdot
\frac{(\frac{abz}{c};q)_\infty(c;q)_\infty}{(bz;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}
{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},\frac{c}{a}\\c\end{matrix};q,\frac{abz}{c}\right]\\
&={_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{a},\frac{c}{b}\\c\end{matrix};q,\frac{abz}{c}\right]\frac{(\frac{abz}{c};q)_\infty}{(z;q)_\infty}\\
\end{align}</math>
となり、[[q二項定理]]を用いて
:<math>\begin{align}{_2\phi_1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n
&=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{abz}{c}\right)^m\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\frac{ab}{c};q)_k}{(q;q)_k}z^k\\
\end{align}</math>
となる。<math>z^n</math>の係数を比べると
:<math>\begin{align}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}
&=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{ab}{c}\right)^m\frac{(\frac{ab}{c};q)_{n-m}}{(q;q)_{n-m}}\\
&=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{ab}{c}\right)^m\frac{(\frac{ab}{c};q)_n(q^{1+n-m};q)_{m}}{(q;q)_n(\frac{ab}{c}q^{n-m};q)_{m}}
\end{align}</math>
であるが、[[qポッホハマー記号#変換式|qポッホハマー記号の変換式]]<math>(aq^{-m+1};q)_m=(-a)^mq^{-m(m-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_m</math>を用いて、
:<math>\begin{align}
&\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\frac{(\frac{ab}{c};q)_n(q^{-n};q)_{m}}{(q;q)_n(\frac{c}{ab}q^{-n+1};q)_{m}}q^m\\
&\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(\frac{ab}{c};q)_n(c;q)_n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\frac{(q^{-n};q)_{m}}{(\frac{c}{ab}q^{-n+1};q)_{m}}q^m
={_3\phi_2}\left[\begin{matrix}\frac{c}{a},\frac{c}{b},q^{-n}\\c,\frac{c}{ab}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right]
\end{align}</math>
を得る。<math>a,b</math>を<math>\tfrac{c}{a},\tfrac{c}{b}</math>に置き換えて
:<math>{_3\phi_2}\left[\begin{matrix}a,b,q^{-n}\\c,\frac{ab}{c}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right]=\frac{(\frac{c}{a};q)_n(\frac{c}{b};q)_n}{(\frac{c}{ab};q)_n(c;q)_n}</math>
を得る。

== 出典 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:きゆうさーるしゆつつのわこうしき}}
[[Category:数式]]

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Qザールシュッツの和公式 - 変更履歴

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